Les Grecs

Ce sont les Grecs qui s’intéressèrent de plus près à cette célèbre constante. Très rigoureux, ils cherchèrent à résoudre divers problèmes géométriques en relation avec le nombre. Anaxagore de Clazomène (500-428 avant J.-C) pensa à quarrer le cercle.

Le problème consiste à dessiner un carré de même aire qu’un cercle avec seulement une règle non graduée et un compas.  Ce problème, mieux connu sous le nom de quadrature du cercle va durer pendant des siècles, exténuant certains, avant que Lindemann ne prouve en  1882 qu’il était impossible à résoudre, en démontrant que π était transcendant c’est à dire solution d’aucune équation polynomiale a coefficients réels.

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Archimède (287-212 av. J.-C.)

Un peu plus tard, le grand Archimède de Syracuse (287-212 av. J.-C.), à al fois mathématicien et ingénieur fait progresser notre connaissance de π de manière remarquable. Dans sont traité intitulé De la mesure du Cercle, il commence à établir que le rapport de la surface d’un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre à son diamètre ; ensuite, en considérant des polygones de 6, 12, 24, 48 puis 96 cotés, il calcule soigneusement des encadrements successifs de π qui le conduisent à l’évaluation :

3,1408 <π< 3,1429

A partir d’Archimède, π existe comme objet mathématique parfait et inaccessible et, de ce fait, comme défi permanent à l’intelligence des hommes.

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En Europe avant l'Analyse

Après Archimède, aucun progrès notable dans le calcul de π n’est accompli en Occident où à cause de la trop lente adoption du système décimal, les calculs restent pénibles et moins précis que ceux faits en Chine.

Cependant, on peut citer entre autres Claude Ptolémée (100-170), les Allemands Valentinus Otho, Nicolas de Cues (1401-1464), et Ludolph von Ceulen (1539-1610). A propos de ce dernier, en Allemagne, π est parfois appelé le nombre de Ludolph car il calcula en 1609, 34 décimales. 

           Viète

Le terme 2 correspond à l’aire du carré inscrit dans un cercle de rayon.

Le terme correspond à l’aire de l’octogone.

On multiplie par pour passer au polygone à 16 côtés puis par pour un polygone à 32 côtés, etc.

Ce résultat dérive de la formule .

Voici les valeurs numériques que donne cette formule :

V(1)= 2,8284271247

V(2)=3,0614674589

V(3)=3,1214451522

V(4)=3,1365484905

V(5)=3,1403311569

V(6)=3,1412772509

V(7)=3,1415138011

Comme dans la méthode d’Archimède, on gagne trois chiffres toutes les cinq étapes. La formule de Viète n’est donc guère utile en pratique.

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En Europe avant l'analyse

          La méthode des isopérimètres

 Le célèbre philosophe et mathématicien René Descartes (1596 – 1650) outre ses réflexions sur la méthode (cf. Discours de la méthode), nous a laissé un traité de géométrie très original, où le lien entre les constructions géométriques et le calcul sur des nombres réels est soigneusement mis en évidence et exploité. L’usage d’un repère composé d’un point  et de deux droites, nommé aujourd’hui repère cartésien bien que Descartes en ait emprunté l’idée à Apollonios de Perga (IIe siècle av. J.-C.) y est systématique.

Il n’est donc pas étonnant que Descartes ait également réfléchi à la fameuse quadrature du cercle. La solution qu’il propose ‘qui n’en est réellement pas une  car il n’obtient π que comme limite d’une construction infinie) est intéressante. Elle consiste à fixer une longueur de périmètre, puis à construire des polygones ayant toujours ce périmètre et possédant un nombre de cotés de plus en plus grand. A la limite, cette méthode dite des isopérimètres donne un rayon (pour le cercle circonscrit aux polygones) qui dans un rapport de π avec le périmètre fixé au départ.

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Archimède (287 - 212 av. J.-C.)

Il proposa une méthode qui fit référence dans le calcul de π durant de longs siècles

François Vièta (1540-1603), dit Viète

Il proposa la première formule infinie de π

René Descartes (1596-1650)

Philosophe, physicien, il fut aussi le dernier grand mathématicien à approcher π d'une manière géométrique