Le π des Anciens

         Lorsqu’on évoque les mathématiques anciennes, des anachronismes surviennent rapidement. Par exemple, affirmer que les Egyptiens évaluaient p à p = (16/9)² alors que le signe ne fut introduit qu’en 1557 par un physicien anglais : Robert Recorde, est un peu ridicule. De plus, les Egyptiens ne connaissaient ni les chiffres décimaux, ni nos notations algébriques. Donc nous pouvons vite comprendre que les Egyptiens n’ont jamais écrit une formule qui ressemble de près comme de loin à p = (16/9)².

         Pour s’exprimer de façon plus correcte, on pourrait dire que “ dans leurs calculs, les Egyptiens suivent un procédé dont la justification (s’ils la donnaient, ce qui n’est pas le cas) présupposerait qu’ils ont fixé une constante pour l’aire du disque au carré de son rayon, et que cette constate vaut (16/9)² ”.

         Afin de retracer plus facilement l’histoire ancienne de p, nous utiliseront les notations et les notions modernes, nous formulerons aussi les démonstrations des propositions anciennes dans le langage d’aujourd’hui.

 Haut de page

 Les Babyloniens

Les plus anciennes valeurs de p dont l’utilisation est certifiée chez les civilisations de l’Antiquité sont p = 3, p = 3 + 1/7 et p = 3 + 1/8. Cette dernière valeur à été trouvé sur une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, vieille de 4000 ans, découverte en 1936.

Les Babyloniens y sont arrivés à partir du périmètre de l’hexagone qui équivaut à trois fois le diamètre de cet hexagone, d’autre part, ils estimaient que le rapport entre le périmètre d’un cercle de rayon 1 et celui de l’hexagone inscrit à 57/60 + 36/(60)² (valeur sans doute obtenue par une mesure approchée, exprimée dans le système de numération en base 60 alors en usage). De ceci, on en déduit la formule suivante :  

Nous pouvons noter que dans certaines civilisations, les géomètres anciens n’avaient pas compris que le rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre est égal au rapport de l’aire d’un disque au carré de son rayon.

Haut de page

π dans La Bible

Dans la Bible aussi p demeure. Lors de la description de l’énorme chaudron du fondeur de bronze Hiram (Livre des Rois, 1, 7,3 et 2, chronique 4,2), p apparaît implicitement avec la valeur p = 3. Toutefois, il est possible que les Hébreux aient conscience que 3 n’était qu’une approximation de p, il est même possible qu’ils connaissaient de meilleures valeurs pour p.

Voici le passage concerné dans la Bible en termes francisés (dont on date l’écriture aux alentours de 550 avant J.-C.) :

 “ Il fit aussi une mer de fonte de dix coudées d’un bord jusqu’à l’autre, qui était toute ronde : elle avait cinq coudées de haut et était environnée tout à l’entour d’un cordon de trente coudées ”

Soit en termes mathématiques : D = 10 coudées, P = 30 coudées, d'où d'après la relation P = πD, on a π = P/D = 30/10 = 3

Quelques siècles plus tard, après la diffusion des merveilles de la géométrie grecque, que le passage concernait le contour intérieur du chaudron pour calmer les polémiques. Mais la seule justification semble être que dans le contexte d’artisanat peu précis de l’époque, la valeur approchée p = 3 était largement suffisante pour les fondeurs.

Haut de page

 Les Égyptiens

Dans le Papyrus de Rhind, découvert en 1855, nous  découvrons que p était évalué à (16/9)² = 3.160449. Ce papyrus date sans doute de 1800-1650 avant notre aire. Pour arriver à ce résultat, les Egyptiens assimile l’aire du cercle de diamètre d à nu carré de coté a = 8d/9 ce qui donne :

Pour finir, notons qu’ils connaissaient l’égalité entre le rapport du périmètre d’un cercle et le rapport de la surface d’un disque au carré de son rayon donc ils savaient que le “p” de P = 2pr est le même que le “p” de S = pr2. Par contre, ils ne semblent pas avoir fait une relation entre ces deux égalités équivalant au théorème de Pythagore.

 Haut de page

Tablette babylonienne

Les babyloniens auraient comparé le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit

Livres des Rois, 1,7,3,2

Les Hébreux avaient la mesure la moins précise avec π = 3

Scribe et reproduction du papyrus de Rhind

Les Egyptiens ont utilisé l'approximation des surfaces du cercle et de l'octogone