Voici les démonstrations classiques des formules de Wallis et de Stirling (tirées intégralement de "Le fascinant nombre ")

Démonstration de Wallis

NB : Cette démonstration n'est pas celle utilisée par Wallis car certains outils mathématiques ne sont apparus qu'après. C'est donc la démonstration utilisée couramment par les mathématiciens actuels.

Posons :  et effectuons une intégration par partie :

D’où, en remplaçant sin²x par 1-cos²x :

W_n=(n-1)(W_n-2  - W_n) et finalement nW_n=(n-1)W_n-2

En exprimant W_n en fonction de W₀ et W₁, on obtient :

Pour tout

En utilisant l’égalité , où le second terme tend vers 1 quand n tend vers l’infini, dans l’inéquation :

on déduit que W_n+1/W_n tend vers 1 quand n tend vers l’infini (puisque la borne inférieure de ce rapport tend vers 1)

Avec les expressions trouvées plus haut de W_2p et W_2p+1, il vient :

Ce qu’on peut aussi écrire :

Démonstration de STIRLING

Considérons le suite de terme général S_n = (n + 1/2) ln n – n – ln n !, qui est la somme partielle de la série de terme général u_k définie par u₁ = -1 et u_k = S_k – S_k-1, d’où en simplifiant u_k = - (k – 1/2)ln(1-1/k) – 1. Un développement limité à l’ordre 3 du logarithme donne que u_k ≈ 1/12k² ; la série est donc convergente.

Soit L sa somme. En prenant l’exponentielle des S_n, on obtient :

d’où

On a alors les deux égalités que l’on utilise avec la formule de Wallis pour connaître exp(L) :

d’où : et