John Wallis (1616 - 1703)

          Le premier à s’intéresser au mystérieux π est John Wallis. Il est nommé à Oxford en 1649. Son apport est considérable dans l’apparition de l’analyse moderne et plus généralement dans le développement de nouvelles idées. Ainsi, il soutint la doctrine de la circulation du sang de William Harvey mais il contribua surtout à détacher l’algèbre et l’arithmétique des représentations géométriques. Il montra également que la solution de Hobbes concernant la quadrature du cercle était fausse. Enfin un de ces apports majeurs, encore utilisé aujourd’hui, est l’utilisation des symboles « < », « > » et « ∞ ».

          En ce qui concerne ses travaux sur π, il est le premier mathématicien de l’histoire à l’écrire sous la forme d’un produit infini. La formule suivante se trouve dans son ouvrage Arithmetica Infinitorum :

          Cette formule peut également s’écrire avec nos notations actuelles sous la forme :

          Vous pouvez trouver la démonstration de cette formule dans les annexes, en cliquant ici.

          Cependant, ce n’est pas la démonstration qu’a pu faire Wallis car la notion d’intégrale n’a été introduite que quelque temps plus tard avec Leibniz et Newton. Sa démonstration qui est en fait une démarche algébrico-géométrique pourrait être considérée aujourd’hui comme un affreux bricolage, bien loin de notre rigueur actuelle..

          Cependant, ce bidouillage a conduit à cette magnifique formule qui, pour la première fois, a permis de représenter π sans radicaux.

          Mais  malheureusement, le calcul des décimales de π est particulièrement lente. Calculons les premiers termes :

2,84444444444

2,9257142857

2,9721541950

3,0021759545

          Nous nous apercevons qu’au cinquième terme, nous n’obtenons qu’un seul chiffre exact de π. Continuons avec le 25^e, le 250^e et le 2 500^e terme.

3,1260789002

3,1400238186

3,1414355935

          Nous pouvons nous apercevoir que la convergence de cette suite est très lente : au 2 500^e terme, nous n’avons obtenu que quatre chiffes exacts de π. C’est pourquoi cette formule ne sera guère utilisé, mais influencera considérablement la suite du calcul des décimales de π.

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William Brouncker (1620 - 1684)

          William Brouncker fut avec John Wallis un des fondateur de la Royal Society, l’équivalent de notre « Académie des Sciences » . Il en fut même le président.

          Sa caractéristique était d’utiliser des fractions continues. Qu’est-ce ?

          Ces fractions ont des expressions de la forme :

          La limite de ces expressions est de la forme :

ou plus commode : a₀ + b₀/(a₁ + b₁/(a₂ + b₂/(a₃ + … + b_n/(a_n+…))…)

          Ainsi, en transformant la formule de Wallis, Brouncker trouve la formule :

          Brouncker a ensuite tenté d’écrire π sous la forme d’une fraction continue régulière, c’est à dire que les b₁ sont égaux à 1. De plus pour simplifier l’écriture, on note :

[a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n]

          A tout nombre est associée une fraction continue régulière.

          Méthode :

-         On écrit le nombre x sous la forme x = E(x) +  (x - E(x)) avec E(x) la fonction entière.

-         On étudie l’inverse x’ du nombre (x – E(x)).

-         On l’écrit sous la forme x’= E(x’) + (x’ - E(x’))

-         On continue ainsi de suite .

Appliquons à π :

-         π = 3 + 0,14159…

-         0,14159… = 1/7,0625…

-         7,0625… = 7 + 0,0625…

-         donc π = 3 + 1/(7+0,0625…)

On continue de même et on obtient :

π = 3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+…)))))

soit π = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,…]

          En utilisant un nombre fini d’éléments, on obtient les fractions réduites de π :

          Donc Brouncker n’a pas contribué à la découverte de nouvelles décimales, mais il a permis une nouvelle notation de π, différente du développement en base 10 qui tient pourtant une place prépondérante dans les mathématiques.

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James Gregory (1638 - 1675)

          Gregory, professeur à l’Université de Saint-Andrews est surtout connu pour son télescope à miroir secondaire dont il est l’inventeur. il s’attacha également à prouver que le problème de la quadrature du cercle était impossible à résoudre, en vain.

          Mais  il a cependant découvert une formule :

          En prenant x=1, on obtient :

          Cependant, cette formule n’a jamais été écrite explicitement par Gregory. En effet, la convergence est exécrable. On parle de convergence logarithmique car le nombre d’étape pour gagner un chiffre est de plus en plus important. En effet le pour k=500 la formule donne π=3,1435886595, k=5 000, π=3,1417926135, k=50 000, π=3,1416126531.

          Cette formule sera cependant utilisée plus tard mais avec des valeurs inférieures à 1 car plus x est proche de 0, mieux la suite converge.

          En fait, il faut préciser que cette formule avait été découverte par le mathématicien indien Madhava, mais elle est restée inconnu en Occident.

          Nous pouvons ajouter que Gregory a trouvé une méthode itérative pour le calcul de p qui utilise comme Archimède des polygones, mais qui n’est guère plus utile :

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John Wallis (1616-1703)

Il fut l'un des premiers à aborder les mathématiques modernes

William Brouncker (1620-1684)

Il fut l'un des premiers présidents de la Royal Society

James Gregory (1638 - 1635)

Il essaya de prouver que le problème de la quadrature du cercle était impossible à résoudre.