La remise en question de la course aux décimales          

          Le XIXe siècle fut pour le calcul de π une période bien terne, paradoxalement aux progrès des mathématiques durant ce même siècle : fulgurante ascension des nombres complexes, apparition de la géométrie non euclidienne. En effet, les mathématiciens se sont sans doute dit que le calcul des décimales de π usait beaucoup d'énergie pour peu de résultats. En effet, quelles peuvent être les raisons qui ont pu ou encore peuvent pousser les mathématiciens à le course aux décimales ? Certains évoquent plusieurs raisons : 

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Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920)

      Cet Indien (d'Inde, pas d'Amérique) est un mathématicien si particulier qu'il convient de lui réserver un paragraphe complet.

          Srinivasa Ramanujan est né en Inde en 1887 dans une famille pauvre et est mort en 1920. Cette mort jeune (seulement 33 ans !) s'explique par sa santé qui n'a pas résistée au climat humide britannique. Pour être bref, Ramanujan est un génie comme l'histoire en a peu connu. Déjà dès son enfance, ce génie apparaît en lui. On raconte qu'ayant à peine commencé l'étude de la trigonométrie, il découvrit seul les relations entre cosinus, sinus et exponentielle, découverte malheureusement pour lui une siècle plus tôt par Léonhard Euler. Mais, paradoxalement, il échoue à l'examen final du collège (= baccalauréat) en 1907 et doit donc se tourner vers des petits métiers comme commis dans une agence portuaire. Sa renommée commence lorsqu'il écrit une lettre au mathématicien anglais Godfrey Harold Hardy (1877 - 1947) dans laquelle il propose 120 énoncés mathématiques dont certains étaient déjà connu, mais d'autres non. Alors Hardy le fait venir en Grande Bretagne en 1913 et travaille avec lui pendant de nombreuses années. En 1918, Ramanujan devient membre de la Royal Society et du Trinity College.

          Son génie vient sans doute de sa conception des mathématiques et surtout des nombres. Comme nous l'avons dit auparavant, Ramanujan "voyait" les nombres sous la forme de fractions continues. Malheureusement, son manque d'instruction faisait qu'il ne possédait pas d'idée claire de ce qu'était une démonstration mathématique. Littlewood, un autre mathématicien anglais disait que "si un bout signifiant de raisonnement lui venait à l'esprit et que globalement, le mélange entre intuition et évidence lui donnait quelque certitude, il n'allait pas plus loin". Cela comportait des dangers. Pour comparer, imaginons un nombre dont les premières décimales sont 1,33333333333333. Pour Ramanujan, ce nombre équivaut à 4/3 d'après son écriture. Mais le mathématicien ne l'affirme pas car ce nombre peut aussi être à la décimale suivante 1,333333333333334 ce qui signifie que ce nombre n'est pas totalement égal à 4/3. Ainsi, les découvertes de Ramanujan peuvent se classer dans 4 genres :

          Cependant, comme le dit Hardy "je me demande si [...] les erreurs de Ramanujan ne furent pas plus merveilleuses encore que ses triomphes"

          En conclusion, Ramanujan fut un génie mais sa vision des mathématiques reste encore très mystérieuse.

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Pour retrouver les formules de Ramanujan, visitez cette page

Les décimales de π au XIX^e et au début du XX^e siècle

          Ainsi, peu de mathématiciens s’intéressèrent au calcul de π durant le XIXe siècle. Il faut cependant noter une lente évolution du nombre de décimales découvertes qui passe ainsi de 140 décimales calculées par l’autrichien Georg Von Vega en 1794 à 707 décimales calculées par William Shanks en 1874, ce qui est relativement peu par rapport aux progrès des mathématiques durant ce même siècle. Le record de Shanks a tenu jusqu’en 1945, date à laquelle il est dépassé par D. Ferguson, qui calcule 539 décimales. Certes, il ne dépasse pas les 707 décimales de Shanks, mais ce calcul révèle qu’à partir de la 528e décimale, la calcul de Shanks était faux. Puis à partir de 1947, Ferguson calcule successivement 710 décimales, 808 décimales en 1948. Le millier de décimales n’est pas encore atteint. Mais il ne faut pas oublier que jusqu’à la moitié du XXe siècle, les calculs étaient faits à la main, le seul ayant utilisé une machine à calculer étant Ferguson pour calculer les 710 premières décimales. A ce rythme là, le millier était encore loin, alors, ne parlons même pas du million et encore moins du milliard, pourtant atteint aujourd’hui. Comment cela s’est-il produit ?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Malgré son génie, il ne contribua pas à rendre π moins mystérieux 

Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920)

Sa manière de "sentir" les mathématiques reste encore mystérieuse pour certains mathématiciens pourtant reconnus