La millionième décimale de π

          Le millier de décimales est atteint en 1949, par les frères Wrench et Levy Smith, gràce à une machine à calculer de bureau. Une autre étape a été franchie : il aura fallu 2000 ans pour calculer 100 décimales de π, puis 243 ans pour en calculer 1000. Mais le rythme va encore accélérer.

          En septembre 1 949, le premier ordinateur électronique, appelé ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) calcule 2 037 décimales de π. Cet ordinateur, conçu dès 1945 par la More School de Philadelphie a été programmé par George Reitwiesner. A partir de cette année de 1949, l’ordinateur va régner sans contestation dans la course aux décimales. A la suite de cet exploit, l’ENIAC va être considéré comme un « cerveau électronique » alors qu’il n’est même pas l’équivalent d’une calculatrice programmable actuelle.

          Après cet exploit, les records vont s’enchaîner jusqu’en 1973 où le million de décimales est atteint. Parmi ces records, ce sont exclusivement des ordinateurs qui ont calculé ces décimales, même si la programmation et les formules sont uniquement humaines. Ainsi, l’ordinateur NORC (Naval Ordinance Research Calculator) calcule 3 092 décimales en 1954 après seulement 13 minutes de calcul, à comparer avec les 70 heures nécessaires à l’ENIAC en 1949. Les 10 000 décimales sont atteintes en 1958 par le Français Genuys grâce à un IBM 704. Le même programme permet d’atteindre 16 167 décimales en 1959. En 1961, Daniel Shanks (sans rapport avec William du même nom) et John Wrench obtiennent 100 000 décimales de π à Washington après une attente de 8 heures 43 minutes. En 1966, à Paris, un IBM 7030 fournit 250 000 décimales de π à Jean Guilloud et J. Filliatre, suivies en 1967 par 500 000 décimales obtenues par J. Guilloud et M. Dichampt.

          Enfin, c’est en 1973 qu’est calculé le premier million de décimales sur des machines CDC 7600 par Jean Guilloud associé à Martine Bouyer. Ce calcul a duré 23 heures et 18 minutes alors que la vérification n’a pris que 13 heures 40 minutes. Ce million de décimales a donné naissance à un livre de 415 pages, le livre le plus ennuyeux du monde selon certains...

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Le milliard est atteint

          Avec le calcul du million de décimales, un nouvel écueil se dresse. En effet, les formules utilisées jusqu’à présent sont dites linéaires. Pour doubler le nombre de décimales, il faut compter un temps quatre fois plus important. On dit que la complexité de ces algorithme est supérieure à n². Ainsi, des calculs montrent que si les ordinateurs avaient progressé comme en 1973 ( ce qui est loin d’être le cas ), le milliard de décimales aurait été atteint cette année, en 2003. D’autres calculs plus réalistes montrent que ce milliard aurait été atteint en 2 010. Or, le milliard a été atteint en 1989. Comment cela est-il arrivé ?

          En fait, sans s’étendre sur le sujet, des méthodes de calcul de la multiplication,de la division ou encore de l’extraction de racine ont été découvertes, elles sont dites rapides. C’est aussi à ce moment-là qu’intervient le génie de Ramanujan. Ainsi, voici différentes formules aidant au calcul de p :

          Cette formule fut découverte par Ramanujan en 1910 et publiée en 1914. Elle permet d’obtenir 8 nouvelles décimales à chaque étape. Une autre formule du même type, donnant 14 décimales exactes à chaque étape, a permis aux frères Chudnovsky de calculer 4 milliards de décimales. Cependant, malgré leur efficacité par rapport aux  formules précédentes, le temps requis de calcul augmente sensiblement avec le nombre de décimales.

          Ce type de formule est dit à convergence rapide car plus on avance dans le calcul, plus le nombre de décimales obtenues est important. Ainsi, avec cet algorithme d’ordre 4, la seizième itération donne  plus de 10 000 000 de décimales sous réserve d’avoir commencé le calcul avec 10 millions de décimales.

          Ainsi, après  le million de Jean Guilloud et Martine Bouyer, c’est William Gosper qui en 1985 obtient 17 millions de décimales grâce à une formule de Ramanujan. D’ailleurs, dans l’esprit du génial Indien, Gosper calcula ces décimales en fraction continue puis en base décimale. Janvier 1986 voit 29 millions de décimales obtenues par David Bailey. Le calcul fut effectué par deux ordinateurs différents. Pour l’anecdote, ce calcul a permis de déceler une erreur sur un des ordinateurs, ce qui prouve que l’ordinateur n’est aux mathématiques qu’un outil de vérification et non pas une démonstrateur. Il faut cependant noter que ces calculs ne sont toujours pas à la portée du premier propriétaire d’ordinateur, et nécessite une programme très affiné et des moyens techniques élevés.

          Après ces deux records, arrivent une lutte mathématiques entre deux groupes, deux pays : le Japon et les Etats-Unis à travers respectivement Yamasusa Kanada et les frères Chudnovsky, d’origine ukrainienne. Ce sont ces derniers qui arrivèrent les premiers au milliard de décimales de π en août 1989.

          A propos de ces frères hors du commun, il faut noter que malgré leur talent de mathématiciens, ils ne sont guère reconnus par leur égaux car ceux-ci pensent que la course aux décimales épuisent beaucoup de force pour peu d’objectif.

          Au passage, pour s’imaginer ce que représente 1 milliard de décimales, à raison d’un chiffre par millimètre (01234567890123456789), il faudrait un ruban de 1 000 kilomètres pour écrire ces décimales ou encore 1 000 ouvrages de 400 pages de 50 lignes de 50 caractères (ce qui est énorme).

          Les frères Chudnovsky ont ensuite été rapidement détrôné par l’université de Tokyo en Novembre 1989 avec 1 0 73 741 799 décimales calculées.

          Ainsi, depuis 15 ans ces deux géants du monde de π se détrônent tour à tour, en sachant que ce sont les frères Chudnovsky qui ont passé les premiers les étapes symboliques de 2 000 000 000 puis 4 000 000 000 de décimales respectivement en 1991 et 1994. Depuis, c’est régulièrement l’équipe de Kanada qui remportent les records avec 6 000 000 000 en 1995 et en septembre 1 999, les 206 000 000 000 décimales de π. Mais la course n’est pas finie et les 10⁷⁷ décimales calculables sont encore loin...

L'ENIAC

Cet ordinateur fut à l'origine construit pour calculer des tables de tir pour l'armée américaine

Le duel : Yamasusa Kanada

Lui et son équipe de l'université de Tokyo ont récemment réussi à calculer 206 milliards de décimales de π

contre les frères Chudnovsky

Ils ont été les premiers à franchir la barre symbolique des 1 milliard de décimales